Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³+ax²+bx+m的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若函數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于直線對稱，且f′（1）=0．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）若函數(shù)f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=2x³+ax²+bx+m，
得：f'（x）=6x²+2ax+b
則其對稱軸為，
因?yàn)楹瘮?shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，，所以a=3
則f^′（x）=6x²+6x+b，
又由f'（1）=0可得，b=-12．
（2）由（1）得：f（x）=2x³+3x²-12x+m
所以，f^′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2）
當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，f^′（x）＞0，x∈（-2，1）時(shí)，f^′（x）＜0，x∈（1，+∝）時(shí)，f^′（x）＞0．
故函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上是增函數(shù)，在（-2，1）上是減函數(shù)，
所以，函數(shù)f（x）的極大值為f（-2）=20+m，極小值為f（1）=m-7．
而函數(shù)f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，故必有，解得：-20＜m＜7．
所以，使函數(shù)f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-20，7）．
分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，根據(jù)其對稱軸為直線得到a的值，再由f′（1）=0求出b的值；
（2）在（1）求出a和b的前提下，函數(shù)解析式中僅含有變量m，求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值，由函數(shù)f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的極大值大于0，且同時(shí)滿足極小值小于0，聯(lián)立可求m的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是把函數(shù)f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值的范圍問題，此題是中檔題．