Question

15．已知拋物線C：x²=4y，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，圓E：x²+（y+1）²=1，斜率為k（k＞0）的直線l與拋物線C和圓E都相切，切點(diǎn)分別為P和Q，直線PF和PQ分別交x軸于點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）求△PMN內(nèi)切圓半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線y=kx+t（k＞0，t＜0），代入拋物線的方程，運(yùn)用判別式為0，求得k，t的關(guān)系式；再將直線和圓相切的條件：d=r，解得k，t，進(jìn)而得到直線l的方程；
（Ⅱ）將直線l的方程代入拋物線的方程可得P的坐標(biāo)，由直線PF求得M的坐標(biāo)，直線的方程求得N的坐標(biāo)，再運(yùn)用三角形的面積公式和等積法，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)直線y=kx+t（k＞0，t＜0），
代入拋物線的方程x²=4y，可得x²-4kx-4t=0，
由相切的條件可得△=16k²+16t=0，即為k²+t=0，
由直線和圓相切可得d=$\frac{|t+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
即為t²+3t=0，解得t=-3（0舍去），
k=$\sqrt{3}$，（負(fù)的舍去），
即有直線l的方程為y=$\sqrt{3}$x-3；
（Ⅱ）由y=$\sqrt{3}$x-3和x²=4y，
解得切點(diǎn)P（2$\sqrt{3}$，3），
由F（0，1），直線PF的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
求得M的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，0）；
直線l的方程為y=$\sqrt{3}$x-3，可得N的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，0），
由面積相等法，可得S_△PMN=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•3=3$\sqrt{3}$，
又設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，可得$\frac{1}{2}$r（|PM|+|PN|+|MN|）=$\frac{1}{2}$r（6+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$），
即有（3+2$\sqrt{3}$）r=3$\sqrt{3}$，
解得r=6-3$\sqrt{3}$．
則△PMN內(nèi)切圓半徑為6-3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和拋物線相切、以及直線與圓相切的條件，考查等積法的運(yùn)用以及內(nèi)切圓半徑的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．