Question

7．△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，角A為銳角，且$\frac{sin2A}{tanA}=\frac{{2{b^2}}}{c^2}$．
（1）求角C的大��；
（2）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角的正弦公式、商的關(guān)系化簡(jiǎn)后，再由余弦定理化簡(jiǎn)后求出C的值；
（2）由（1）和內(nèi)角和定理表示B，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)后，由角A為銳角和正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出sinA+sinB的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，$\frac{sin2A}{tanA}=\frac{2^{2}}{{c}^{2}}$，
∴$\frac{2sinAcosA}{\frac{sinA}{cosA}}=\frac{2^{2}}{{c}^{2}}$，得$co{s}^{2}A=\frac{^{2}}{{c}^{2}}$，
∵角A為銳角，∴cosA=$\frac{c}$，
由余弦定理得，$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{c}$，化簡(jiǎn)得c²=a²+b²，
∴C=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）得，A+B=$\frac{π}{2}$，則B=$\frac{π}{2}$-A，
∴sinA+sinB=sinA+sin（$\frac{π}{2}$-A）=sinA+cosA=$\sqrt{2}sin（A+\frac{π}{4}）$，
由$0＜A＜\frac{π}{2}$得，$\frac{π}{4}＜A+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（A+\frac{π}{4}）≤1$，
則$1＜\sqrt{2}sin（A+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，
∴sinA+sinB的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，三角恒等變換中的公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握定理和公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．