【題目】已知函數(shù)的圖象為不間斷的曲線,定義域為,規(guī)定:

①如果對于任意,都有,則稱函數(shù)是凹函數(shù).

②如果對于任意都有,則稱函數(shù)是凸函數(shù).

1)若函數(shù)()是凹函數(shù),試寫出實數(shù)的取值范圍;(直接寫出結(jié)果,無需證明);

2)判斷函數(shù)是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并加以證明;

3)若對任意的,,試證明存在,使.

【答案】1;(2)凸函數(shù),證明見解析;(3)見解析.

【解析】

1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì),結(jié)合新定義,直接求解即可;

2)利用作差比較法,根據(jù)新定義,直接判斷、證明即可;

3)根據(jù)等式,構(gòu)造新函數(shù),利用零點(diǎn)存在原理直接證明即可.

1)由函數(shù)圖象可知:;

2)因為,故,

所以,則函數(shù)是凸函數(shù).

3)設(shè),

因為

又因為,

所以,所以在區(qū)間上有零點(diǎn),

即存在,使.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中央政府為了應(yīng)對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題,擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們]對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度,責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在1565歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人,調(diào)査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如下:

年齡

支持“延遲退休”的人數(shù)

15

5

15

28

17

(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異;

45歲以下

45歲以上

總計

支持

不支持

總計

(2)若以45歲為分界點(diǎn),從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動.現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人

①抽到1人是45歲以下時,求抽到的另一人是45歲以上的概率.

②記抽到45歲以上的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在單位正方體中,點(diǎn)P在線段上運(yùn)動,給出以下四個命題:

異面直線間的距離為定值;

三棱錐的體積為定值;

異面直線與直線所成的角為定值;

二面角的大小為定值.

其中真命題有( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為FA(x1,y1),B(x2y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點(diǎn),求證:

(1)y1y2=-p2;(2)為定值;

(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】銷售甲乙兩種商品所得利潤分別是(單位:萬元)(單位:萬元),它們與投入資金(單位:萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗公式,.今將10萬元資金投入經(jīng)營甲乙兩種商品,其中對甲種商品投資(單位:萬元).

1)試建立總利潤(單位:萬元)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;

2)如何投資經(jīng)營甲乙兩種商品,才能使得總利潤最大,并求出最大總利潤.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線 的焦點(diǎn)與橢圓 的一個焦點(diǎn)重合,點(diǎn)在拋物線上,過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn).

(Ⅰ)求拋物線的方程以及的值;

(Ⅱ)記拋物線的準(zhǔn)線軸交于點(diǎn),試問是否存在常數(shù),使得都成立?若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;

2)若函數(shù)處取得極大值,求實數(shù)的取值范圍

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的焦距為,且C與y軸交于兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)P點(diǎn)是橢圓C上的一個動點(diǎn)且在y軸的右側(cè),直線PA,PB與直線交于M,N兩點(diǎn).若以MN為直徑的圓與x軸交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的一段圖象如圖所示.

1)求該函數(shù)的解析式;

2)求該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;

3)該函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到的?

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