【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n .
(1)設(shè)bn= ,證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的前n項和.
【答案】
(1)證明:∵an+1=2an+2n,∴ ,
∴bn+1﹣bn=1.
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,首項為 =1,公差為1
(2)解:由(1)可得:bn=1+(n﹣1)=n,
∴ ,
∴ ,
∴數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+2×2+3×22+…+n2n﹣1,
2Sn=2+2×22+3×23+…+(n﹣1)×2n﹣1+n×2n,
∴﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n= ﹣n×2n=(1﹣n)×2n﹣1.
∴Sn=(n﹣1)×2n+1
【解析】(1)由an+1=2an+2n , 可得 ,即bn+1﹣bn=1.即可證明;(2)由(1)可得:bn=1+(n﹣1)=n, ,再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.
【考點(diǎn)精析】利用等差關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項和對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),即-=d ,(n≥2,n∈N)那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列;數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定兩個命題,P:對任意實(shí)數(shù)x都有ax2+ax+1>0恒成立;Q:關(guān)于x的方程x2﹣x+a=0有實(shí)數(shù)根;如果P與Q中有且僅有一個為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知△ABC是斜三角形,內(nèi)角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c.若csinA= acosC.
(1)求角C;
(2)若c= ,且sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列,且滿足,a2+a7=16
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式 (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
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【題目】如圖,設(shè) 與定點(diǎn) 的距離和它到直線 的距離的比是常數(shù),
(1)求點(diǎn) 的軌跡曲線 的方程:
(2)過定點(diǎn) 的直線 交曲線 于 兩點(diǎn),以 三點(diǎn)( 為坐標(biāo)原點(diǎn))為頂點(diǎn)作平行四邊形 ,若點(diǎn) 剛好在曲線 上,求直線 的方程.
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【題目】已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1=2,求:
(1)求異面直線A1D與AC所成角的大小;
(2)求四面體A1﹣DCA的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正四棱錐(底面為正方形,頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心)S﹣ABCD的底面邊長為2,高為2,E為邊BC的中點(diǎn),動點(diǎn)P在表面上運(yùn)動,并且總保持PE⊥AC,則動點(diǎn)P的軌跡的周長為( )
A.
B.
C.3
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,半徑為的圓形紙板內(nèi)有一個相同圓心的半徑為的小圓,現(xiàn)將半徑為的一枚硬幣拋到此紙板上,使整塊硬幣完全隨機(jī)落在紙板內(nèi),則硬幣與小圓無公共點(diǎn)的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,已知 tanAtanB﹣tanA﹣tanB= .
(1)求∠C的大小;
(2)設(shè)角A,B,C的對邊依次為a,b,c,若c=2,且△ABC是銳角三角形,求a2+b2的取值范圍.
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