Question

已知點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是圓C₁：（x-1）²+y²=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，以線段AB為直徑作圓C₂．
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），求點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）求圓心C₂的軌跡方程；
（3）求圓C₂的最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），確定點(diǎn)B在y軸上，將x=0代入圓的方程，即可確定點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）設(shè)圓心C₂的坐標(biāo)，根據(jù)直角三角形斜邊中線是斜邊一半，建立關(guān)系|OC₂|=

1

2

|AB|，代入坐標(biāo)可求出軌跡方程；
（3）根據(jù)圓C₂面積最大，即|AB|最大，可知|OC₂|最大時(shí)，圓C₂面積最大．求出圓心C₂的軌跡上到圓點(diǎn)的最大距離即可求出圓C₂的最大面積．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）在x軸上，且OA⊥OB，
∴點(diǎn)B在y軸上，
將x=0代入：（x-1）²+y²=4得，
y=±

3

．
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，

3

）或（0，-

3

）．
（2）設(shè)圓心C₂的坐標(biāo)為（x，y），
∵圓C₁：（x-1）²+y²=4，
∴圓心C₁（1，0），半徑r=2，
∵圓心到直線AB的距離為：d=

(x-1)2+y2

，
∴|AB|=2

r2-d2

=2

4-(x-1)2-y2

，
又∵△OAB是直角三角形，C₂是AB的中點(diǎn)，
∴|OC₂|=

1

2

|AB|，
∴

x2+y2

=

4-(x-1)2-y2

，
∴圓心C₂的軌跡方程(x-

1

2

)2+y2=

7

4

．
（3）由（2）可知，圓心C₂的軌跡方程是以(

1

2

，0)為圓心，

7

2

為半徑的圓，
∵圓C₂面積最大，即|AB|最大，
∴|OC₂|最大時(shí)，圓C₂面積最大．
∵|OC₂|_max=

1

2

+

7

2

，
∴Smax=π|OC2|2=

4+ 7

2

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，圓的方程，坐標(biāo)法求軌跡方程和最值問題處理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．