Question

已知函數(shù)f（x）是定義為在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=

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（|x-a²|+|x-2a²|-3a²），若x∈R，都有f（x-1）≤f（x+1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于當(dāng)x≥0時，f（x）=

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（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．可得當(dāng)0≤x≤a²時，f（x）=-x；當(dāng)a²＜x≤2a²時，f（x）=-a²；當(dāng)x＞3a²時，f（x）=x-3a²．畫出其圖象．由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，即可畫出x＜0時的圖象．由于x∈R，f（x-1）≤f（x+1），即有?x∈R，f（x-2）≤f（x），可得6a²≤2，解出即可．

解答： 解：∵當(dāng)x≥0時，f（x）=

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（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．
∴當(dāng)0≤x≤a²時，f（x）=

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（a²-x+2a²-x-3a²）=-x；
當(dāng)a²＜x≤2a²時，f（x）=-a²；
當(dāng)x＞3a²時，f（x）=x-3a²．
畫出其圖象．
由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，即可畫出x＜0時的圖象，
與x＞0時的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
∵?x∈R，f（x-1）≤f（x+1），
即有?x∈R，f（x-2）≤f（x），
∴6a²≤2，
解得-

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≤a≤

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3

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-

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，

3

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]．
故答案為：[-

3

3

，

3

3

]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性、周期性，考查了分類討論的思想方法，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．