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已知F為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點，直線l過點F且與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線l1，l2分別交于點M，N，與橢圓交于點A，B．
（Ⅰ）若∠MON=
π
3
，雙曲線的焦距為4．求橢圓方程．
（Ⅱ）若
OM
•
MN
=0（O為坐標原點），
FA
=
1
3
AN
，求橢圓的離心率e．
（Ⅰ）∵雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦點在x軸上，
∴漸近線方程為y=±
b
a
x
∴漸近線l1的斜率為
b
a

又∵∠MON=
π
3
，M，N是直線l與雙曲線兩條漸近線l1，l2的交點，
∴漸近線l1的傾斜角為
π
6
，
∴
b
a
=tan
π
6
=
3
3
，即a=
3
b
∵雙曲線的焦距為4，
∴a2+b2=4．
把a=
3
b代入，得，a2=3，b2=1
∴橢圓方程為
x2
3
+y2=1
（Ⅱ）設橢圓的焦距為2c，則點F的坐標為（c，0）
∵
OM
•
ON
=0，∴l(xiāng)⊥l1
∵直線l1的方程為y=-
b
a
x，∴直線l的斜率為
a
b
，
∴直線l的方程為y=
a
b
(x-c)
聯(lián)立l1，l方程，由
y=
a
b
(x-c)
y=
b
a
x
解得
x=
a2
c
y=
ab
c

即點N(
a2
c
，
ab
c
)
設A（x，y），由
FA
=
1
3
AN
，得(x-c，y)=
1
3
(
a2
c
-x，
ab
c
-y)
即
x-c=
1
3
(
a2
c
-x)
y=
1
3
(
ab
c
-y)
，解得，
x=
3c2+a2
4c
y=
ab
4c

∴A(
3c2+a2
4c
，
ab
4c
)
∵點A在橢圓上，代入橢圓方程，得
(3c2+a2)2
16a2c2
+
a2
16c2
=1
即（3c2+a2）2+a4=16a2c2，
∴（3e2+1）2+1=16e2，即9e4-10e2+2=0
解得e2=
5±
7
9

∴e=
5±
7
3

橢圓的離心率是e=
5±
7
3
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知⊙O′過定點A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線C：x2＝2py(p＞0)上運動，MN為圓O′在x軸上所截得的弦．

(1)當O′點運動時，|MN|是否有變化？并證明你的結論；
(2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，試判斷拋物線C的準線與圓O′的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若焦點在x軸的雙曲線的一條漸近線為y=
1
2
x，則它的離心率e=______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)與直線y=
3
x無交點，則離心率e的取值范圍（　�。�
A．（1，2）B．（1，2]C．（1，
5
）		D．（1，
5
]

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設經過雙曲線x2-
y2
3
=1的左焦點F1作傾斜角為
π
6
的直線與雙曲線左右兩支分別交于點A，B．求
（I）線段AB的長；
（II）設F2為右焦點，求△F2AB的周長．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線x2-
y2
a
=1的一條漸近線與直線x-2y+3=0垂直，則a=______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設P是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上除頂點外的任意一點，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，△PF1F2的內切圓與邊F1F2相切于點M，則
F1M
•
MF2
=（　�。�
A．a2B．b2C．a2+b2D．
1
2
b2

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線
x2
16
-
y2
4
=1上一點P到一個焦點的距離為10，則它到另一個焦點的距離為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設雙曲線C：
x2
2
-y2=1的左、右頂點分別為A1、A2，垂直于x軸的直線a與雙曲線C交于不同的兩點S、T．
（1）求直線A1S與直線A2T的交點H的軌跡E的方程；
（2）設A，B是曲線E上的兩個動點，線段AB的中垂線與曲線E交于P，Q兩點，直線l：x=
1
2
，線段AB的中點M在直線l上，若F（1，0），求
FP
•
FQ
的取值范圍．

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