Question

12．如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AB∥CD，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)．
（1）證明：EC=ED．
（2）延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，連接EF、EG，使得EF=EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四點(diǎn)共圓，得到四邊形的一個(gè)外角等于不相鄰的一個(gè)內(nèi)角，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，等量代換得到兩個(gè)角相等，從而兩條邊相等，得到結(jié)論；
（2）根據(jù)第一問(wèn)做出的邊和角之間的關(guān)系，得到兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)平行的性質(zhì)定理，等量代換，得到四邊形的一對(duì)對(duì)角相等，得到四點(diǎn)共圓．

解答 （1）證明：因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，
所以∠EDC=∠EBA
因?yàn)镃D∥AB，
所以∠ECD=∠EBA，
所以∠EDC=∠ECD，
所以EC=ED．
（2）解：由（1）知，AE=BE，
因?yàn)镋F=EG，故∠EFD=∠EGC
從而∠FED=∠GEC
連接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE
又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，
所以∠AFG+∠GBA=180°
故A，B．G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)和判斷，考查兩直線平行的判斷和性質(zhì)定理，考查三角形全等的判斷和性質(zhì)，考查四點(diǎn)共圓的判斷，本題是一個(gè)中檔題．