Question

20．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=a（cosφ+sinφ）}\\{y=a（sinφ-cosφ）}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)，a＞0），在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同單位長(zhǎng)度的極坐標(biāo)系中，曲線C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{6}$）=1
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）曲線C₁上恰好存在四個(gè)不同的點(diǎn)到曲線C₂的距離相等，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=a（cosφ+sinφ）}\\{y=a（sinφ-cosφ）}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)，a＞0），平方相加可得可得x²+y²=a²=a²．曲線C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{6}$）=1，展開(kāi)可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ+\frac{1}{2}ρcosθ$=1，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）圓心（0，0）到直線的距離d=$\frac{2}{2}$=1．根據(jù)曲線C₁上恰好存在四個(gè)不同的點(diǎn)到曲線C₂的距離相等，可得直線兩側(cè)各有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，因此$\sqrt{2}a$-1＞1，解出即可得出．

解答 解：（1）由曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=a（cosφ+sinφ）}\\{y=a（sinφ-cosφ）}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)，a＞0），
可得x²+y²=a²（1+sin2φ）+a²（1-sin2φ）=a²．
曲線C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{6}$）=1，展開(kāi)可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ+\frac{1}{2}ρcosθ$=1，
化為直角坐標(biāo)方程：$\sqrt{3}$y+x=2．
（2）圓心（0，0）到直線的距離d=$\frac{2}{2}$=1．
∵曲線C₁上恰好存在四個(gè)不同的點(diǎn)到曲線C₂的距離相等，
∴直線兩側(cè)各有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，
∴$\sqrt{2}a$-1＞1，解得$a＞\sqrt{2}$．
故a的取值范圍是$（\sqrt{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、圓的參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．