Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：其中k＞0，數(shù)列{b_n}滿足：
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）是否存在正數(shù)k，使得數(shù)列{a_n}的每一項均為整數(shù)，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的k．

Answer 1

解：（1）經(jīng)過計算可知：a₄=k+1，a₅=k+2，．
求得．…（4分）
（2）由條件可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．…①
類似地有：a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n．…②
①-②有：
即：b_n=b_n-2
∴

所以：．…（8分）
（3）假設(shè)存在正數(shù)k，使得數(shù)列{a_n}的每一項均為整數(shù)
則由（2）可知：…③
由可知k=1，2．
當k=1時，為整數(shù)，利用a₁，a₂，a₃∈Z，結(jié)合③式，反復遞推，可知{a_n}的每一項均為整數(shù)
當k=2時，③變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/525207.png' />…④
我們用數(shù)學歸納法證明a_2n-1為偶數(shù)，a_2n為整數(shù)
n=1時，結(jié)論顯然成立，假設(shè)n=k時結(jié)論成立，這時a_2n-1為偶數(shù)，a_2n為整數(shù)，故a_2n+1=2a_2n-a_2n-1為偶數(shù)，a_2n+2為整數(shù)，所以n=k+1時，命題成立．
故數(shù)列{a_n}是整數(shù)列．
綜上所述，k的取值集合是{1，2}．…（13分）
分析：（1）經(jīng)過計算可知：a₄=k+1，a₅=k+2，．根據(jù)數(shù)列{b_n}滿足：，從而可求求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）由條件可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．類似地有：a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n，兩式相減整理得b_n=b_n-2，從而可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）假設(shè)存在正數(shù)k，使得數(shù)列{a_n}的每一項均為整數(shù)則由（2）可知：…③
由可求得k=1，2．只需證明 k=1，2時，滿足題意．
點評：本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的遞推公式，考查了學生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．