Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)．
（I）求證：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）PD⊥平面ABM；
（Ⅲ）求三棱錐A-PBM的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線(xiàn)與平面平行的判定,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：

分析：（I）根據(jù)條件，得到四邊形ABME為平行四邊形，從而，得到BM∥AE，得證；
（Ⅱ）首先，得到AE⊥PD，然后，得到AB⊥PD，問(wèn)題得證；
（Ⅲ）直接根據(jù)V_A-PBM=V_P-ABM求解．

解答： 解：（I）證明：取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE和EM，則EM=

1

2

CD，EM∥CD，又AB=

1

2

CD，AB∥CD．
∴AB∥EM，AB=EM．
∴四邊形ABME為平行四邊形，
∴BM∥AE，
又∵BM?平面PAD，AE?平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（Ⅱ）∵AD=AP，E為PD中點(diǎn)，
∴AE⊥PD，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，
∴PD⊥平面ABM．
（Ⅲ）在四邊形ABME中，AB=1，BM=AE=PE=

1

2

PD=

2

，
∴V_A-PBM=V_P-ABM=

1

3

PE•S_△ABM=

1

3

×

2

×（

1

2

×1×

2

）=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題中點(diǎn)考查了線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．