Question

如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°，
（1）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；
（2）求cos∠COD．

Answer 1

（1）證明：設(shè)平面PAB與平面PCD的交線為l，則
∵AB∥CD，AB?平面PCD，∴AB∥平面PCD
∵AB?面PAB，平面PAB與平面PCD的交線為l，∴AB∥l
∵AB在底面上，l在底面外
∴l(xiāng)與底面平行；
（2）設(shè)CD的中點為F，連接OF，PF
由圓的性質(zhì)，∠COD=2∠COF，OF⊥CD
∵OP⊥底面，CD?底面，∴OP⊥CD
∵OP∩OF=O
∴CD⊥平面OPF
∵CD?平面PCD
∴平面OPF⊥平面PCD
∴直線OP在平面PCD上的射影為直線PF
∴∠OPF為OP與平面PCD所成的角
由題設(shè)，∠OPF=60°
設(shè)OP=h，則OF=OPtan∠OPF=

3

h
∵∠OCP=22.5°，∴OC=

OP

tan∠OCP

=

h

tan22.5°

∵tan45°=

2tan22.5°

1-tan222.5°

=1
∴tan22.5°=

2

-1
∴OC=

h

2 -1

=(

2

+1)h
在Rt△OCF中，cos∠COF=

OF

OC

=

3 h

( 2 +1)h

=

6

-

3

∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos²∠COF-1=17-12

2