（選修4-2 矩陣與變換）已知二階矩陣M有特征值λ=6及對應的一個特征向量e1=，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）換成（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值，及對應的一個特征向量e2的坐標之間的關(guān)系．
【答案】分析：（1）先設(shè)矩陣 ，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=6及對應的一個特征向量e1及矩陣M對應的變換將點（-1，2）換成（-2，4）．得到關(guān)于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，從而求得另一個特征值為2，設(shè)矩陣M的另一個特征向量是e2=，解得特征向量e2的坐標之間的關(guān)系．
解答：解：（1）設(shè)矩陣 ，這里a，b，c，d∈R，
則=6=，故
=，故
聯(lián)立以上兩方程組解得a=，b=，c=，d=，故M=．
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，故其另一個特征值為2，
設(shè)矩陣M的另一個特征向量是e2=，則Me2==2，解得2x+y=0
點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（“選修4-2矩陣與變換”）
已知y=f（x）的圖象（如圖1）經(jīng)A=
.
ab
cd
.
作用后變換為曲線C（如圖2）．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）求矩陣A的特征值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（選修4-2 矩陣與變換）
變換T是將平面上每個點M（x，y）的橫坐標乘2，縱坐標乘4，變到點M'（2x，4y）．
（Ⅰ）求變換T的矩陣；
（Ⅱ）圓C：x2+y2=1在變換T的作用下變成了什么圖形？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）（選修4-2 矩陣與變換）已知矩陣A=
12
-14
，向量
α
=
7
4
．
①求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
、
α2
；
②求A5
α
的值．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程求極坐標系中，圓ρ=2上的點到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=6的距離的最小值．
（3）選修4-5；不等式選講知x，y，z為正實數(shù)，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時x，y，z的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•鹽城二模）選修4-2  矩陣與變換
已知矩陣M=
12
2x
的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）選修4-2矩陣與變換：
已知矩陣M=
.
2a
21
.
，其中a∈R，若點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P′（-4，0）．
①求實數(shù)a的值；
②求矩陣M的特征值及其對應的特征向量．
（2）選修4-4參數(shù)方程與極坐標：
已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是
x=
2
2
t+m
y=
2
2
t
（t是參數(shù)）．若l與C相交于AB兩點，且AB=
14
．
①求圓的普通方程，并求出圓心與半徑；
②求實數(shù)m的值．

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