Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，首項a₁與公差d均為自然數(shù)，已知集合M={（a₁，d）|S₁₁＜143且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列}，若函數(shù)恰好經(jīng)過集合M中的兩個點，則滿足條件的函數(shù)有________個．

Answer 1

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分析：由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，知a₁×（a₁+3d）=（a₁+d）²，解得d=a₁，所以，S_n=nd（n+1），因為S₁₁=66d＜143，且d和a₁為自然數(shù)，所以d=1或d=2，M={（1，1），（2，2）}，故滿足條件的函數(shù)有1個．
解答：∵a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴a₁×（a₁+3d）=（a₁+d）²，
a₁²+3d×a₁=a₁²+2d×a₁+d²，
∵首項a₁與公差d均為自然數(shù)，
解得d=a₁，即a_n=nd，
所以，S_n=nd（n+1），
因為S₁₁=66d＜143，且d和a₁為自然數(shù)
∴d=1，或d=2
∴M={（1，1），（2，2）}，
∴滿足條件的函數(shù)有1個．
故答案為：1．
點評：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式和通項公式的靈活運用．