Question

15．若動點M到定點A（0，1）與定直線l：y=3的距離之和為4．
（1）求點M的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖；
（2）記（1）得到的軌跡為曲線C，問曲線C上關于點B（0，t）（t∈R）對稱的不同點有幾對？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設M（x，y），由題意$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}+|y-3|=4$，分類討論，可得點M的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖；
（2）當t≤0或t≥4顯然不存在符合題意的對稱點．當0＜t＜4時，注意到曲線C關于y軸對稱，至少存在一對（關于y軸對稱的）對稱點，下面研究曲線C上關于B（0，t）對稱但不關于y軸對稱的對稱點即可．

解答 解：（1）設M（x，y），由題意$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}+|y-3|=4$…（4分）
①：當y≤3時，有$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}=y+1$，化簡得：x²=4y
②：當y＞3時，有$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}=7-y$，化簡得：x²=-12（y-4）（二次函數）
綜上所述：點M的軌跡方程為${x^2}=\left\{{\begin{array}{l}{4y，y≤3}\\{-12（y-4），y＞3}\end{array}}\right.$（如圖）                    …（4分）
（2）當t≤0或t≥4顯然不存在符合題意的對稱點
當0＜t＜4時，注意到曲線C關于y軸對稱，至少存在一對（關于y軸對稱的）對稱點
下面研究曲線C上關于B（0，t）對稱但不關于y軸對稱的對稱點
設P（x₀，y₀）是軌跡x²=4y（y≤3）上任意一點，則$x_0^2=4{y_0}（{y_0}≤3）$，它關于B（0，t）的對稱點為Q（-x₀，2t-y₀），由于點Q在軌跡x²=-12（y-4）上，
所以${（-{x_0}）^2}=-12（2t-{y_0}-4）$，聯立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x_0^2=4{y_0}}\\{x_0^2=-12（2t-{y_0}-4）}\end{array}}\right.$（*）得

4y₀=-12（2t-y₀-4），化簡得$t=\frac{{{y_0}+6}}{3}（0≤{y_0}≤3）$
①當y₀∈（0，3）時，t∈（2，3），此時方程組（*）有兩解，即增加有兩組對稱點．


②當y₀=0時，t=2，此時方程組（*）只有一組解，即增加一組對稱點．（注：對稱點為P（0，0），Q（0，4））


當y₀=3時，t=3，此時方程組（　�。┯袃山鉃�$P（2\sqrt{3}，3），Q（-2\sqrt{3}，3）$，沒有增加新的對稱點．
綜上所述：$\left\{{\begin{array}{l}{t≤0，t≥4，不存在}\\{t∈（0，2），…1對}\\{t=2，…2對}\\{t∈（2，3），…3對}\\{t∈[3，4），…1對}\end{array}}\right.$…（8分）

點評 本題考查軌跡方程，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，難度大．