Question

15．若動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A（0，1）與定直線l：y=3的距離之和為4．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程，并畫(huà)出方程的曲線草圖；
（2）記（1）得到的軌跡為曲線C，問(wèn)曲線C上關(guān)于點(diǎn)B（0，t）（t∈R）對(duì)稱的不同點(diǎn)有幾對(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），由題意$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}+|y-3|=4$，分類討論，可得點(diǎn)M的軌跡方程，并畫(huà)出方程的曲線草圖；
（2）當(dāng)t≤0或t≥4顯然不存在符合題意的對(duì)稱點(diǎn)．當(dāng)0＜t＜4時(shí)，注意到曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，至少存在一對(duì)（關(guān)于y軸對(duì)稱的）對(duì)稱點(diǎn)，下面研究曲線C上關(guān)于B（0，t）對(duì)稱但不關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)即可．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），由題意$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}+|y-3|=4$…（4分）
①：當(dāng)y≤3時(shí)，有$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}=y+1$，化簡(jiǎn)得：x²=4y
②：當(dāng)y＞3時(shí)，有$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}=7-y$，化簡(jiǎn)得：x²=-12（y-4）（二次函數(shù)）
綜上所述：點(diǎn)M的軌跡方程為${x^2}=\left\{{\begin{array}{l}{4y，y≤3}\\{-12（y-4），y＞3}\end{array}}\right.$（如圖）                    …（4分）
（2）當(dāng)t≤0或t≥4顯然不存在符合題意的對(duì)稱點(diǎn)
當(dāng)0＜t＜4時(shí)，注意到曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，至少存在一對(duì)（關(guān)于y軸對(duì)稱的）對(duì)稱點(diǎn)
下面研究曲線C上關(guān)于B（0，t）對(duì)稱但不關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)
設(shè)P（x₀，y₀）是軌跡x²=4y（y≤3）上任意一點(diǎn)，則$x_0^2=4{y_0}（{y_0}≤3）$，它關(guān)于B（0，t）的對(duì)稱點(diǎn)為Q（-x₀，2t-y₀），由于點(diǎn)Q在軌跡x²=-12（y-4）上，
所以${（-{x_0}）^2}=-12（2t-{y_0}-4）$，聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x_0^2=4{y_0}}\\{x_0^2=-12（2t-{y_0}-4）}\end{array}}\right.$（*）得

4y₀=-12（2t-y₀-4），化簡(jiǎn)得$t=\frac{{{y_0}+6}}{3}（0≤{y_0}≤3）$
①當(dāng)y₀∈（0，3）時(shí)，t∈（2，3），此時(shí)方程組（*）有兩解，即增加有兩組對(duì)稱點(diǎn)．


②當(dāng)y₀=0時(shí)，t=2，此時(shí)方程組（*）只有一組解，即增加一組對(duì)稱點(diǎn)．（注：對(duì)稱點(diǎn)為P（0，0），Q（0，4））


當(dāng)y₀=3時(shí)，t=3，此時(shí)方程組（　　）有兩解為$P（2\sqrt{3}，3），Q（-2\sqrt{3}，3）$，沒(méi)有增加新的對(duì)稱點(diǎn)．
綜上所述：$\left\{{\begin{array}{l}{t≤0，t≥4，不存在}\\{t∈（0，2），…1對(duì)}\\{t=2，…2對(duì)}\\{t∈（2，3），…3對(duì)}\\{t∈[3，4），…1對(duì)}\end{array}}\right.$…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．