Question

19．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，則$\frac{^{2}+1}{a}$的最小值為（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線離心率的關系求出c，b與a的關系，利用分式的性質結合基本不等式進行求解即可．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，
∴e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，
b²=c²-a²=3a²，
則$\frac{^{2}+1}{a}$=$\frac{3{a}^{2}+1}{a}$=3a+$\frac{1}{a}$，
∵a＞0，∴3a+$\frac{1}{a}$$≥2\sqrt{3a•\frac{1}{a}}$=2$\sqrt{3}$，
當且僅當3a=$\frac{1}{a}$，即a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時取等號，
∴$\frac{^{2}+1}{a}$的最小值為2$\sqrt{3}$，
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線性質的應用，根據(jù)條件建立a，b，c的關系，結合基本不等式的應用是解決本題的關鍵．