Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+2n，在等比數(shù)列{b_n}中，b₁+b₃=5．b₄+b₆=40．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{S}_{n}}，n為奇數(shù)}\\{_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_2n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+2n，當(dāng)n=1時，a₁=3；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，利用b₄+b₆=q³（b₁+b₃）=40．解得q，即可得出b₁．
（2）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{S}_{n}}，n為奇數(shù)}\\{_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，可得：n為奇數(shù)時，c_n=$\frac{2}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$．當(dāng)n為偶數(shù)時，c_n=b_n=2^n-1．分別利用“裂項(xiàng)求和”方法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+2n，
當(dāng)n=1時，a₁=3；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，n=1時也成立．
∴a_n=2n+1．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，∵b₁+b₃=5．b₄+b₆=40．
∴b₄+b₆=q³（b₁+b₃）=40．解得q=2，
∴b₁（1+2²）=5，解得b₁=1．
∴b_n=2^n-1．
（2）∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{S}_{n}}，n為奇數(shù)}\\{_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，∴n為奇數(shù)時，c_n=$\frac{2}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$．
當(dāng)n為偶數(shù)時，c_n=b_n=2^n-1．
∴數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n）
=$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$+（2+2³+…+2^2n-1）
=1-$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{2（{4}^{n}-1）}{4-1}$
=$\frac{2n}{2n+1}$+$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．