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9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+2n,在等比數(shù)列{bn}中,b1+b3=5.b4+b6=40.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn={2Snn(shù)nn(shù),設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求T2n

分析 (1)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+2n,當(dāng)n=1時(shí),a1=3;n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,即可得出an.設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,利用b4+b6=q3(b1+b3)=40.解得q,即可得出b1
(2)cn={2Snn(shù)nn(shù),可得:n為奇數(shù)時(shí),cn=2Sn=1n1n+2.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cn=bn=2n-1.分別利用“裂項(xiàng)求和”方法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:(1)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+2n,
當(dāng)n=1時(shí),a1=3;n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1,n=1時(shí)也成立.
∴an=2n+1.
設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,∵b1+b3=5.b4+b6=40.
∴b4+b6=q3(b1+b3)=40.解得q=2,
∴b1(1+22)=5,解得b1=1.
∴bn=2n-1
(2)∵cn={2Snn(shù)nn(shù),∴n為奇數(shù)時(shí),cn=2Sn=1n1n+2
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cn=bn=2n-1
∴數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n
=[113+1315+…+12n312n1+12n112n+1]+(2+23+…+22n-1
=1-12n+1+24n141
=2n2n+1+234n1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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17.今年春節(jié)期間,在為期5天的某民俗廟會(huì)上,某攤點(diǎn)銷售一種兒童玩具的情況如表:
日期2月13日2月14日2月15日2月16日2月17日
天氣小雨小雨陰轉(zhuǎn)多云多云轉(zhuǎn)陰
銷售量上午4247586063
下午5556626567
由表可知:兩個(gè)雨天的平均銷售量為100件/天,三個(gè)非雨天的平均銷售量為125件/天.
(1)以十位位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉.畫出表中10個(gè)銷售數(shù)據(jù)的莖葉圖,并求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)
(2)假如明年廟會(huì)5天中每天下雨的概率為25,且每天下雨與否相互獨(dú)立,其它條件不變.試估計(jì)廟會(huì)期間同一類型攤點(diǎn)能夠售出的同種兒童玩具的件數(shù);
(3)已知攤位租金為1000元/個(gè),該種玩具進(jìn)貨價(jià)為9元/件,售價(jià)為13元/件,未售出玩具可按進(jìn)貨價(jià)退回廠家,若所獲利潤(rùn)大于1200元的概率超過(guò)0.6,則成為“值得投資”,那么在(2)的條件下,你認(rèn)為“值得投資”嗎?

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A.10B.9C.5D.4

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