如果函數(shù)f（x）在x=x0處取得極值，則點（x0，f（x0））稱為函數(shù)f（x）的一個極值點．已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，a，b，c，d∈R）的一個極值點恰為坐標(biāo)系原點，且y=f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-1=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域．

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，由f（0）=0，得d=0，
f′（0）=0，解得c=0，
又y=f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-1=0，
所以f（1）=-2，即a+b=-2①，f′（1）=-3，即3a+2b=-3②，聯(lián)立①②解得a=1，b=-3，
所以f（x）=x3-3x2；
（2）f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）=0，解得x=0，2，
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞2，所以f（x）在[-2，0]內(nèi)遞增，
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，所以函數(shù)f（x）在[0，2]內(nèi)遞減，
所以f（x）max=f（0）=0，f（-2）=-20，f（2）=-4，所以f（x）min═-20，
故函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域為[-20，0]．
分析：（1）由f（x）的極值點為原點得f（0）=0、f′（0）=0，可求d、c值，根據(jù)f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-1=0可得f（1）=-2，f′（1）=-3，聯(lián)立可解得a、b；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在[-2，2]上的極值、函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值，其中最大者為最大值，最小者為最小值，由此可得值域；
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及函數(shù)在某點處的切線方程，屬中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，且對任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數(shù)”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）對于（I）中的函數(shù)f（x）有下列性質(zhì)：“若x∈[a，b]，則存在x0（a，b）使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′（x0）”成立．利用這個性質(zhì)證明x0唯一；
（Ⅲ）設(shè)A、B、C是函數(shù)f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）在x=x0處取得極值，則點（x0，f（x0））稱為函數(shù)f（x）的一個極值點．已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，a，b，c，d∈R）的一個極值點恰為坐標(biāo)系原點，且y=f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-1=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為“格點”，如果函數(shù)f（x）的圖象恰好通過k（k∈N*）個格點，則稱函數(shù)f（x）為“k階格點函數(shù)”．下列函數(shù)中是“一階格點函數(shù)”的有
 

①f（x）=|x|；②f(x)=
2
(x-1)2+3；③f(x)=(
1
2
)x-2；④f(x)=log
1
2
(x+1)  ⑤f(x)=
1
x-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如果函數(shù)f（x）在x=x處取得極值，則點（x，f（x））稱為函數(shù)f（x）的一個極值點．已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，a，b，c，d∈R）的一個極值點恰為坐標(biāo)系原點，且y=f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-1=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域．

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