Question

15．如圖，三個邊長為1的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊GD上有2016個不同的點P₁、P₂、P₃、…、P₂₀₁₆，則$\overrightarrow{AF}•（{{{\overrightarrow{AP}}_1}+{{\overrightarrow{AP}}_2}+{{\overrightarrow{AP}}_3}+…+{{\overrightarrow{AP}}_{2016}}}）$=9072．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{DG}$，推出$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{1}}$=$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{2}}$=…=$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{2016}}$=$\frac{9}{2}$，即可計算$\overrightarrow{AF}•（{{{\overrightarrow{AP}}_1}+{{\overrightarrow{AP}}_2}+{{\overrightarrow{AP}}_3}+…+{{\overrightarrow{AP}}_{2016}}}）$的值．

解答 解：由圖可知，∠FAD=30°，∠ADG=60°，
∴$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{DG}$，即$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{DG}$=0；
則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{1}}$=$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AF}$•λ$\overrightarrow{DG}$=|$\overrightarrow{AF}$|×|$\overrightarrow{AD}$|×cos30°=$\sqrt{3}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{2}$，
又$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{1}}$=$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{2}}$=…=$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{2016}}$，
$\overrightarrow{AF}•（{{{\overrightarrow{AP}}_1}+{{\overrightarrow{AP}}_2}+{{\overrightarrow{AP}}_3}+…+{{\overrightarrow{AP}}_{2016}}}）$=$\frac{9}{2}$×2016=9072．
故答案為：9072．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算問題，也考查了三角形中邊角關(guān)系的運用與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．