Question

已知定義域為R的偶函數(shù)f（x），對于任意x∈R，滿足f（2+x）=f（2-x）．且當(dāng)0≤x≤2時f（x）=x．令g₁（x）=g（x），g_n（x）=g_n-1（g（x）），其中n∈N^*，函數(shù)g（x）=

2x 0≤x≤1 4-2x 1＜x≤2

，則方程g_n（f（x））=

x

2014

的解的個數(shù)為

 

（結(jié)果用n表示）．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：新定義

分析：依題意知，f（x）是以4為周期的函數(shù)，且f（x）=|x-4k|，4k-2≤x≤4k+2，k∈Z．從而可求得g₁（x）與g₂（x）的解析式，于是知y=f（x）的圖象是跨度為4高為2的“山峰”依次排列，y=g_n（x）的圖象是跨度為2^1-n高為2的“山峰”依次排列（總長度為2），從而可得答案．

解答： 解：∵f（2+x）=f（2-x），
∴f（x）=f（4-x），用-x替換x得：f（-x）=f（4+x），
又f（-x）=f（x），
∴f（4+x）=f（x），即f（x）是以4為周期的函數(shù)，
∴f（x）=|x-4k|，4k-2≤x≤4k+2，k∈Z．
∵g₁（x）=g（x）=

2x，0≤x≤1 4-2x，1＜x≤2

，
g₂（x）=

4x，0≤x≤ 1 2 4-4x， 1 2 ＜x≤1 4(x-1)，1＜x≤ 3 2 4(2-x)， 3 2 ＜x≤2

，
∴f（x）的圖象是跨度為4高為2的“山峰”依次排列，
g_n（x）=的圖象是跨度為2^1-n高為2的“山峰”依次排列（總長度為2），
∴方程g_n（f（x））=

x

2014

的解滿足0≤

x

2024

≤2，
∴0≤x≤4028=4×1007，
在f（x）的一個周期內(nèi)，方程有2×

2

21-n

=2ⁿ⁺¹個解，
∴g_n（f（x））=

x

2014

的解的個數(shù)為1007×2ⁿ⁺¹=2014×2ⁿ．
故答案為：2014×2ⁿ．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)的周期性、對稱性，考查函數(shù)解析式的確定與函數(shù)性質(zhì)的分析，考查抽象思維與邏輯思維能力，屬于難題．