Question

某同學(xué)設(shè)計(jì)的反射鏡（如圖1）的縱截面是拋物線的一部分（如圖2），光源安裝在焦點(diǎn)F處．其中鏡口直徑AB=80厘米，鏡深OC=40厘米；根據(jù)實(shí)際需要，鏡口直徑、鏡深均需增加10厘米．問光源安裝的位置是否發(fā)生改變，說明你的理由．

Answer 1

解：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：…（2分）
設(shè)反射鏡的縱截面所在拋物線的方程為y²=2px（p＞0）…（1分）
設(shè)計(jì)改進(jìn)前，點(diǎn)（40，40）是拋物線線上的點(diǎn)，則40²=2p•40，解得p=20．…（2分）
所以此時(shí)拋物線的焦點(diǎn)（即光源安裝的位置）到頂點(diǎn)的距離為=10厘米．…（1分）
設(shè)計(jì)改進(jìn)后，點(diǎn)（50，45）是拋物線線上的點(diǎn)，則45²=2p•50，解得p=20.25…（2分）．
所以此時(shí)的焦點(diǎn)（即光源安裝的位置）到頂點(diǎn)的距離為=10.125厘米…（1分）．
10.125-10=0.125厘米
綜上可知，設(shè)計(jì)改進(jìn)前、后的反射鏡的光源安裝的位置不相同，在原來的基礎(chǔ)上加大0.125厘米…（1分）．
分析：先以反射鏡定點(diǎn)為原點(diǎn)，以定點(diǎn)和焦點(diǎn)所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為y²=2px，依題意可根據(jù)改進(jìn)前后的點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線方程，求得p，進(jìn)而可求得焦距，答案可得．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的應(yīng)用．拋物線在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用很廣泛，在高考中也占據(jù)重要的地位，一定要掌握其基礎(chǔ)知識(shí)做到活學(xué)活用．