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3.如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓x24+y22=1(b>0)的左,右焦點(diǎn),橢圓的離心率為3-1,P為橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn),PF1PF2=0,圓A與△PF1F2三邊所在直線都相切,切點(diǎn)分別為B,C,D,則圓A的半徑為(  )
A.43B.43-6C.43-2D.6-23

分析 根據(jù)切線的性質(zhì)可得|PC|=|PB|,|F2B|=|F2D|,|F1C|=|F1D|,根據(jù)橢圓的定義可知:|PF1|+|PF2|=2a,進(jìn)行等量代換可得|F1C|+|F1D|=2a+2c,根據(jù)橢圓的離心率為3-1,a=2,即可求出c的值,進(jìn)而求出|F1C|的值;設(shè)∠PF2F1=θ,則45°<θ<90°,在Rt△PF1F2中,結(jié)合|PF1|+|PF2|=2a可得2ccosθ+2csinθ=2a,進(jìn)而求出θ=60°,得到|PF1|的值,即可求得圓A的半徑.

解答 解:∵圓A與△PF1F2三邊所在直線都相切,切點(diǎn)分別為B,C,D,
∴|PC|=|PB|,|F2B|=|F2D|,|F1C|=|F1D|.
由橢圓的定義可知:|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PF1|+|PC|+|F2D|=2a,即|F1C|+|F1D|=2a+2c,
∴|F1C|=|F1D|=a+c.
橢圓的離心率為3-1,a=2,
∴c=2(3-1),
∴|F1C|=|F1D|=a+c=23
又∵PF1PF2=0,
則∠F1PF2=90°.設(shè)∠PF2F1=θ.
∵P是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn),45°<θ<90°,
∴2ccosθ+2csinθ=2a,即cosθ+sinθ=ac=3+12
∴1+sin2θ=(3+122=1+32,
∴sin2θ=32,解得θ=60°,
∴|PF1|=2csinθ=3c,
∴圓A的半徑為|F1C|-|PF1|=23-3×2(3-1)=43-6.
故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義及性質(zhì)的綜合應(yīng)用,圓的切線性質(zhì),三角形函數(shù)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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