Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，集合A={a₁，a₂，…，a_n}，B={x|y=

6

x+1

，x∈N^*，y∈N^*}，求：
（1）數列{a_n}的通項公式；
（2）A∩B．

Answer 1

考點：數列的應用,交集及其運算

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用已知條件通過a_n=S_n-S_n-1，求解數列{ a_n}的通項公式．
（2）利用已知條件求出集合A、B，然后求解交集即可．

解答： 解：（1）∵數列{ a_n }的前n項和為S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴a₁=S₁=2¹⁺¹-1-2=1． …（1分）
當n≥2時，有 a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-n-2）-[2ⁿ-（n-1）-2]=2ⁿ-1．…（4分）
而當 n=1時，也滿足a_n=2ⁿ-1，
∴數列{ a_n}的通項公式為 a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．   …（6分）
（2）∵y=

6

x+1

，x、y∈N^*，∴1+x=1，2，3，6，
于是 x=0，1，2，5，而 x∈N^*，∴B={ 1，2，5 }．  …（9分）
∵A={ 1，3，7，15，…，2ⁿ-1 }，
∴A∩B={ 1 }．   …（12分）

點評：本題考查數列的應用，通項公式的求法，交集的求法，考查分析問題解決問題的能力．