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8.已知函數(shù)f(x)=exx+elnx-ax在x=1處取的極值.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)求證:f(x)≥0.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到f′(1)=0,解出a即可;(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出f(x)≥f(1)=0即可.

解答 解:(Ⅰ)∵f′(x)=exx1x2+xe-a…①,
依題意知f′(1)=0,∴a=e;        …(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=exx+elnx-ex,(x>0),
則f′(x)=x1exexx2,
令g(x)=ex-ex…②,
則g′(x)=ex-e,由g′(x)=0,得x=1,
∵當(dāng)0<x≤1時(shí),g′(x)≤0,當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,
∴函數(shù)y=g(x)在(0,1]上遞減,在[1,+∞)上遞增,
∴當(dāng)0<x≤1時(shí),g(x)≥g(1)=0,當(dāng)x>1時(shí),g(x)>g(1)=0,
∴對?x∈(0,+∞),g(x)≥0,即ex≥ex…③
∴由②③,當(dāng)0<x≤1時(shí),x-1≤0,f′(x)≤0,
當(dāng)x>1時(shí),x-1>0,f′(x)>0,
∴函數(shù)y=f(x)在(0,1]上遞減,在[1,+∞)上遞增,
∴f(x)≥f(1)=0.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線l:y=x+m與拋物線C相切于點(diǎn)E,與圓(x+2)2+(y-\frac{1}{2}2=4交于點(diǎn)F,G,求\overrightarrow{EF}\overrightarrow{EG}

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