Question

函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，f（0）=f（1），且對任意不同的x₁，x₂都有|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，求證：|f（x₂）-f（x₁）|≤

1

2

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Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：證明題,函數(shù)的性質及應用,不等式

分析：根據題意，先證明f（x）在定義域上的極大值和極小值差的絕對值小于

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2

，再證明|f（x₂）-f（x₁）|小于或等于

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2

．

解答： 證明：∵函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，對任意不同的x₁，x₂，
都有|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|成立，
不妨設x=m時，f（m）為最大值；x=n時，f（n）為最小值，（其中0＜m＜1，0＜n＜1）
當m＜n時，∵|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，
∴f（m）-f（0）＜m①，
f（m）-f（n）＜n-m②，
f（1）-f（n）＜1-n③，
①+②+③得：2f（m）-2f（n）+f（1）-f（0）＜1；
又f（0）=f（1），
∴|f（m）-f（n）|＜

1

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；
當n＜m時，∵|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，
∴f（0）-f（n）＜n④，
f（m）-f（n）＜m-n⑤，
f（m）-f（1）＜1-m⑥，
④+⑤+⑥得：2f（m）-2f（n）+f（0）-f（1）＜1，
又f（0）=f（1），
∴|f（m）-f（n）|＜

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2

；
對于f（0）和f（1）為極大值或極小值時，不妨設x=m時，f（m）為最小值或極大值，
同理可得，|f（m）-f（1）|＜

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；
∴f（x）的極大值和極小值差的絕對值小于

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，
又|f（x₂）-f（x₁）|小于或等于極大值和極小值差的絕對值；
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤

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2

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點評：本題考查了絕對值不等式|A-B|≤|A|+|B|的應用問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．