Question

已知二次函數(shù)f（x）的圖象過點（0，4），對任意x滿足f（3-x）=f（x），且有最小值是

7

4

；已知g（x）=2x-m
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x）-（2t-3）x在區(qū)間[0，1]上的最小值，其中t∈R；
（Ⅲ）若f（x）恒在g（x）=2x-m的上方，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式，利用條件圖象過點（0，4），f（3-x）=f（x），最小值得到三個方程，解方程組得到解析式；
（Ⅱ）分類討論研究二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值，得到最小值；
（Ⅲ）將條件轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用參變量分離，求出函數(shù)的最小值，得到m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）二次函數(shù)f（x）圖象經(jīng)過點（0，4），
任意x滿足f（3-x）=f（x）
則對稱軸x=

3

2

，
f（x）存在最小值

7

4

，則二次項系數(shù)a＞0，
設(shè)f（x）=a（x-

3

2

）²+

7

4

．
將點（0，4）代入得：
f（0）=

9a

4

+

7

4

=4，
解得：a=1，
∴f（x）=（x-

3

2

）²+

7

4

=x²-3x+4．
（Ⅱ）h（x）=f（x）-（2t-3）x
=x²-2tx+4=（x-t）²+4-t²，x∈[0，1]．
當對稱軸x=t≤0時，h（x）在x=0處取得最小值h（0）=4；
當對稱軸0＜x=t＜1時，h（x）在x=t處取得最小值h（t）=4-t²；
當對稱軸x=t≥1時，h（x）在x=1處取得最小值h（1）=1-2t+4=-2t+5．
綜上所述：
當t≤0時，最小值4；當0＜t＜1時，最小值4-t²；當t≥1時，最小值-2t+5．
（Ⅲ）由已知：f（x）＞2x-m對于x∈R恒成立，
∴-m＜x²-5x+4對x∈R恒成立，
∵g（x）=x²-5x+4在x∈R上的最小值為

16-25

4

=-

9

4

，
∴-m＜-

9

4

．即有m＞

9

4

．

點評：本題考查了二次函數(shù)在區(qū)間上的最值、函數(shù)方程思想和分類討論思想，考查運算能力，屬于中檔題．