Question

2．P是橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的動(dòng)點(diǎn)，以P為切點(diǎn)作橢圓C的切線l，交圓x²+y²=4于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABO的面積最大時(shí)，直線l的斜率k=（　　）

• A． ±1
• B． $±\sqrt{2}$
• C． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $±\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得原點(diǎn)O到AB的距離d．|AB|=2$\sqrt{{R}^{2}-cia6i2c^{2}}$，可得S_△OAB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{|m|\sqrt{4（1+{k}^{2}）-{m}^{2}}}{1+{k}^{2}}$．直線l的方程與題意方程聯(lián)立化為：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由△=0，可得m²=4k²+1．可得S_△OAB=$\frac{\sqrt{3}\sqrt{1+4{k}^{2}}}{1+{k}^{2}}$，令1+k²=t≥1．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則原點(diǎn)O到AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{R}^{2}-smewumm^{2}}$
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\frac{2\sqrt{4（1+{k}^{2}）-{m}^{2}}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|m|\sqrt{4（1+{k}^{2}）-{m}^{2}}}{1+{k}^{2}}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=0，∴m²=4k²+1．
∴S_△OAB=$\frac{\sqrt{3}\sqrt{1+4{k}^{2}}}{1+{k}^{2}}$，令1+k²=t≥1．
則S_△OAB=$\sqrt{-9（\frac{1}{t}-\frac{2}{3}）^{2}+4}$≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{3}{2}$=1+k²，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴直線l的斜率為：$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、二次函數(shù)的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．