Question

已知圓C：x²+8x+y²+a=0在y軸上截得的線段長為4．
（1）求過點(diǎn)P（-2，4）且與圓C相切的直線方程；
（2）若點(diǎn)O和點(diǎn)C分別是坐標(biāo)原點(diǎn)和已知圓的圓心，點(diǎn)Q為圓C上任意一點(diǎn)，求

OQ

•

CQ

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用圓C：x²+8x+y²+a=0在y軸上截得的線段長為4，求出圓的方程，設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求過點(diǎn)P（-2，4）且與圓C相切的直線方程；
（2）設(shè)Q（-4+2

5

cosα，2

5

sinα），則

OQ

•

CQ

=（-4+2

5

cosα，2

5

sinα）•（2

5

cosα，2

5

sinα）=-8

5

cosα+20，即可求

OQ

•

CQ

的取值范圍．

解答： 解：（1）∵圓C：x²+8x+y²+a=0在y軸上截得的線段長為4，
∴2

-a

=4，
∴a=-4，
∴圓C：x²+8x+y²-4=0的圓心為圓心坐標(biāo)為（-4，0），半徑為2

5

，
設(shè)直線方程為y-4=k（x+2），則kx-y+2k+4=0，
∴

|-4k+2k+4|

k2+1

=2

5

，
∴k=-

1

2

，
∴過點(diǎn)P（-2，4）且與圓C相切的直線方程為x+2y-6=0；
（2）設(shè)Q（-4+2

5

cosα，2

5

sinα），則

OQ

•

CQ

=（-4+2

5

cosα，2

5

sinα）•（2

5

cosα，2

5

sinα）=-8

5

cosα+20，
∴

OQ

•

CQ

的取值范圍是[-8

5

+20，8

5

+20]．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．