Question

14．有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{a_n}．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)的和．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列2，6，10，…190的公差為4，等差數(shù)列2，8，14，…，200的公差為6，得到由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列公差為12，由此能求出這個(gè)新數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)條件求出這個(gè)新數(shù)列{a_n}的項(xiàng)數(shù)，再利用求和公式求得它的各項(xiàng)和．

解答 解：（1）設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，190，及2，8，14，…，200的通項(xiàng)公式分別為b_n和 c_n，
則易知：b_n=4n-2（ 1≤n≤48，n∈N^*），c_n=6n-4 （1≤n≤34，n∈N^* ）．
設(shè) b_n=c_m，即 4n-2=6m-4，則 n=m+$\frac{m-1}{2}$∈N^*，
故m=2k-1，k∈N₊，k≤16，{a_n}是以c₁為首相，以12為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=2+12（n-1）=12n-10．
（2）設(shè)新數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，∵新數(shù)列最大項(xiàng)滿足 a_n≤190，
∴2+（n-1）×12≤190，解得n≤$\frac{50}{3}$，∴n=16．
∵新數(shù)列中第16項(xiàng)a₁₆=2+（16-1）×12=182，
新數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為：2，14，26，…，182，
∴{a_n}的各項(xiàng)之和為S₁₆=$\frac{16（2+182）}{2}$=1472．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的基本性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．