Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為線段的中點(diǎn).

（1）證明：點(diǎn)F在線段上移動(dòng)時(shí)，為直角三角形；

（2）若F為線段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得：，再利用線面垂直的性質(zhì)定理判定定理及其正方形的性質(zhì)可得：平面，進(jìn)而證明平面，即可得出結(jié)論.

（2）由題意，以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，可得：.利用向量夾角公式即可得出.

（1）證明：因?yàn)?/span>，E為線段的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>底面，平面，所以，

又因?yàn)榈酌?/span>為正方形，所以，

又，所以平面，

∵平面，∴，

因?yàn)?/span>，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以，

所以點(diǎn)F在線段上移動(dòng)時(shí)，為直角三角形.

（2）由題意，以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，

則，，，，

易知平面的一個(gè)法向量為；

設(shè)平面的法向量為，則，可得：，，

取，

所以，

由圖可知：二面角的平面角為鈍角，因此余弦值為.