Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），x∈R設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式，求出函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），從而得到f（x）的最小正周期；
（2）由x的范圍求得相應(yīng)的范圍，再由正弦曲線(xiàn)y=sinx在[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的圖象進(jìn)一步求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），x∈R，
得f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}cosxsinx+si{n}^{2}x-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
由正弦曲線(xiàn)y=sinx在[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的圖象可知
當(dāng)$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{3}$時(shí)f（x）取最大值1．
當(dāng)$2x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$即x=0時(shí)f（x）取最小值$-\frac{1}{2}$．
函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分別為1，$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積公式、三角恒等變換公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．