11．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=2x，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線的右支上的一點(diǎn)，且滿足∠F1PF2=60°，S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\sqrt{3}$，則雙曲線的方程為（　　）
A．4x2-y2=1B．2x2-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1C．3x2-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1D．5x2-$\frac{5{y}^{2}}{4}$=1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，可得b=2a，利用雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理和三角形的面積公式可得b=1，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由一條漸近線方程為y=2x，可得b=2a，
由雙曲線定義有|PF1|-|PF2|=2a，
兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|=4a2-------①
由余弦定理，有|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos60°，
即為|PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=4c2----------②
由①②可得|PF1|•|PF2|=4c2-4a2=4b2，
則S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF1|•|PF2|sin60°=$\frac{1}{2}$•4b2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$b2=$\sqrt{3}$，
解得b=1，a=$\frac{1}{2}$，
即有雙曲線的方程為4x2-y2=1．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線定義和余弦定理及三角形的面積公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．在△ABC中，已知：C滿足cos（π-C）=$\frac{1}{7}$，a，b兩邊的長恰是方程3${\;}^{{x}^{2}-4x}$=36x-21的兩個根，且a＞b，求角A的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

2．橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|=2，則∠F1PF2的正弦值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)f（x）=ex-alnx．
（1）當(dāng)a=4時，求證：f（x）在區(qū)間[2，+∞）上不存在零點(diǎn)；
（2）若兩個函數(shù)在公共定義域內(nèi)具有相同的單調(diào)性，則稱這兩個函數(shù)為“共性函數(shù)”．已知函數(shù)h（x）=-$\frac{1}{x+1}$，且函數(shù)f（x）-e-x與h（x）的共性函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若對任意x1∈[2，+∞），存在x2∈[0，+∞），使${e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}$-4${e}^{{x}_{2}}$lnx1≥x2${e}^{2{x}_{2}}$+x2+b${e}^{{x}_{2}}$，求實數(shù)b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax2-2x，其中a≤0．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x+b，求a-2b的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=x2-3x+3，如果對于任意的x，t∈（0，1]，都有f（x）≤g（t）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．已知直線l與橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)到長軸兩個頂點(diǎn)的距離分別為2+$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$，向量$\overrightarrow{m}$=（ax1，by1），$\overrightarrow{n}$=（ax2，by2），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l的斜率為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最大值；
（2）若兩不等正數(shù)m，n滿足mn=nm，函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），求證：f′（$\frac{m+n}{2}$）＜0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)P為橢圓上一動點(diǎn)，△F1PF2面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A1，過右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)A1A，A1B并延長分別交直線x=4于P，Q兩點(diǎn)，問$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{Q{F_2}}$是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．已知曲線=x3上一點(diǎn)P（2，8），則曲線在P點(diǎn)處的切線的斜率為12．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案