Question

11．如圖，AE是⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC，垂足為D．
（Ⅰ）求證：AE•AD=AC•BC；
（Ⅱ）過點C作⊙O的切線交BA的延長線于F，若AF=4，CF=6，求AC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BE，由直徑所對圓周角為直角得到∠ABE=90°，由三角形相似的條件得到△ACD∽△AEB，再由相似三角形對應邊成比例得AE•AD=AC•BC；
（Ⅱ）由切割弦定理可得CF²=AF•BF，然后再由三角形相似求得AC的值．

解答 （Ⅰ）證明：連接BE
∵AE為圓O的直徑，
∴∠ABE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
又∵∠ACD=∠AEB，
∴△ACD∽△AEB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}$，
又∵AB=BC，
∴AE•ED=AC•BC；
（Ⅱ）解：∵CF是圓O的切線，
∴CF²=AF•BF，
又AF=4，CF=6，
∴BF=9，
∴AB=BF-AF=5，
又∵∠ACF=∠FBC，∠F為公共角，
∴△AFC∽△CFB，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AC}{CB}$，
∴AC=$\frac{AF•CB}{CF}=\frac{10}{3}$．

點評 本題考查與線段有關的比例線段，考查相似三角形的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．