(1)如果函數(shù)y=x+(x>0)的值域為[6,+∞),求b的值;
(2)研究函數(shù)y=x2+(常數(shù)c>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并說明理由;
(3)對函數(shù)y=x+和y=x2+(常數(shù)a>0)作出推廣,使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例,研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫出結(jié)論,不必證明),并求函數(shù)f(x)=(x2+)n+(+x)n(n是正整數(shù))在區(qū)間[,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究結(jié)論).
解析:(1)函數(shù)y=x+(x>0)在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞)上是增函數(shù),
∴該函數(shù)在x=處取得最小值2.
令2=6得b=log29.
(2)方法1:設(shè)t=x2≥0,顯然函數(shù)y=t+在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞)上是增函數(shù).
令x2≤,得-≤x≤,
令x2≥,得x≥或x≤-.
又∵t=x2在(-∞,0]上是減函數(shù),在[0,+∞)上是增函數(shù),
于是利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)y=x2+,在(-∞,-]上是減函數(shù),在[-,0)上是增函數(shù),在(0,]上是減函數(shù),[,+∞)上是增函數(shù).
方法2:∵y′=2x-=2x-,
令y′=0則x=±,又∴x≠0,
于是
x | (-∞,-) | - | (-,0) | 0 | (0,) | (,+∞) | |
f′(x) | - | 0 | + |
| - | 0 | + |
f(x) | ↘ | 極小值 | ↗ |
| ↘ | 極大值 | ↗ |
∴y=x2+(c>0)的單調(diào)增區(qū)間是[-,0),[,+∞);
單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-],(0,].
(3)推廣結(jié)論:當(dāng)n是正奇數(shù)時,函數(shù)y=xn+(常數(shù)a>0)是奇函數(shù),故在(-∞,-]上是增函數(shù),在[-,0)上是減函數(shù),
在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞)上是增函數(shù).
而當(dāng)n是正偶數(shù)時,函數(shù)y=xn+(常數(shù)a>0)是偶函數(shù),
在(-∞,-]上是減函數(shù),在[-,0)上是增函數(shù),
在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞)上是增函數(shù).
當(dāng)x=1時,有最小值(1的任意次冪都是1),
∴F(x)min=F(1)=(1+1)n+(1+1)n=2n+1,
F(x)max=F()=F(2)=()n+()n=9n[()n+()2n].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:湖北省武漢市武昌區(qū)2012屆高三5月調(diào)研考試數(shù)學(xué)文科試題 題型:013
已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動,設(shè)弧的長度為x,弓形面積為f(x)(如圖所示的陰影部分),則關(guān)于函數(shù)y=f(x)的有如下結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)的定義域和值域都是[0,π];
②如果函數(shù)y=f(x)的定義域R,則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù);
③如果函數(shù)y=f(x)的定義域R,則函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù);
④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]上是單調(diào)遞增函數(shù).
以上結(jié)論的正確個數(shù)是
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年湖北省武漢市武昌區(qū)高三五月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題
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