Question

2．已知函數(shù)f（x）=x+alnx，g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-bx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，求a的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數(shù)g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，記t=$\frac{x_1}{x_2}$，若b≥$\frac{13}{3}$，t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出$f'（x）=1+\frac{a}{x}=\frac{x+a}{x}（x＞0）$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）由f（x）在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出a的值．
（3）由$g（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-（b-1）x$，得$g'（x）=\frac{{{x^2}-（b-1）x+1}}{x}$，令g'（x）=0，得x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1，由此能求出t的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+alnx，
∴$f'（x）=1+\frac{a}{x}=\frac{x+a}{x}（x＞0）$，…（2分）
當(dāng)a＞0時(shí)，由x＞0，得f′（x）≥0；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0，解得x＞-a；由f′（x）＜0時(shí)，解得0＜x＜-a．
∴若a≥0，則f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)；…（3分）
若a＜0，則f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）單調(diào)遞增，…（5分）
（2）∵f（x）在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，
∴由題意知f'（1）=1+a=2，即a=1…（7分）
（3）∵f（x）=x+alnx，g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-bx，
∴由$g（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-（b-1）x$，得$g'（x）=\frac{{{x^2}-（b-1）x+1}}{x}$，
令g'（x）=0，x²-（b-1）x+1=0，即x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1…（9分）
而$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t+2+$\frac{1}{t}$=（b-1）²$≥\frac{100}{9}$，
由x₁＜x₂，即0＜t＜1，解上不等式可得：0＜t$≤\frac{1}{9}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．