已知函數(shù)f(x)=cos2x+
3
sinxcosx+2sinxcos(x+
π
6
)，其中x∈[0，
π
2
]
（1）求函數(shù)f（x）的值域
（2）若|f（x）-k|＜3對(duì)任意x∈[0，
π
2
]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
分析：（1）欲求函數(shù)f（x）的值域，須把函數(shù)化為一角一函數(shù)的形式，先利用二倍角公式降冪，再利用輔助角公式和兩角和的正弦公式化一角一函數(shù)，最后結(jié)合函數(shù)的定義域，求出值域．
（2）把|f（x）-k|＜3利用絕對(duì)值的意義去絕對(duì)值符號(hào)，求出f（x）的范圍，因?yàn)閨f（x）-k|＜3對(duì)任意x∈[0，
π
2
]恒成立，所以求出的f（x）的范圍因?yàn)閒（x）的值域的子區(qū)間，再比較端點(diǎn)的大小即可．
解答：解：（1）f(x)=cos2x+
3
sinxcosx+2sinxcos(x+
π
6
)
=cosx(cosx+
3
sinx)+2sinxcos(x+
π
6
)
=2cosxsin(x+
π
6
)+2sinxcos(x+
π
6
)
=2sin(2x+
π
6
)
x∈[0，
π
2
]時(shí)，2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，，sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
，1]，
∴函數(shù)f（x）的值域是[-1，2]
（2）由|f（x）-k|＜3得k-3＜f（x）＜k+3對(duì)任意x∈[0，
π
2
]恒成立
∴
2＜k+3
k-3＜-1
從而-1＜k＜2
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的值域的求法，以及借助三角函數(shù)值域求參數(shù)的取值范圍，做題時(shí)經(jīng)常需要用三角公式化一角一函數(shù)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1
（1）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C、的對(duì)邊分別為a、b、c，且c=
3
，f（C）=0，若向量
m
=(1， sinA)與向量
n
=(2，sinB)共線，求a，b．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=
1，x＞0
0，x=0
-1，x＜0
，設(shè)F（x）=x2•f（x），則F（x）是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
(
1
2
)x-1，x≤0
ln(x+1)，x＞0
，若|f（x）|≥ax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
(c-1)2x，(x≥1)
(4-c)x+3，(x＜1)
的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x2-ax+5，x＜1
1+
1
x
，x≥1
在定義域R上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

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同步練習(xí)冊(cè)答案