Question

如圖，在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，E，F(xiàn)是PA和AB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF||平面PBC；
（2）求E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證EF∥平面PBC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PBC內(nèi)一直線平行，而EF∥PB，又EF?平面PBC，PB?平面PBC，滿足定理所需條件；
（2）在面ABCD內(nèi)作過(guò)F作FH⊥BC于H，又EF∥平面PBC，故點(diǎn)E到平面PBC的距離等于點(diǎn)F到平面PBC的距離FH．在直角三角形FBH中，求出FH即可，最后根據(jù)點(diǎn)E到平面PBC的距離等于點(diǎn)F到平面PBC的距離即可求出所求．

解答：（1）證明：∵AE=PE，AF=BF，
∴EF∥PB
又EF?平面PBC，PB?平面PBC，
故EF∥平面PBC；
（2）解：在面ABCD內(nèi)作過(guò)F作FH⊥BC于H
∵PC⊥面ABCD，PC?面PBC
∴面PBC⊥面ABCD
又面PBC∩面ABCD=BC，F(xiàn)H⊥BC，F(xiàn)H?面ABCD∴FH⊥面PBC
又EF||平面PBC，故點(diǎn)E到平面PBC的距離等于點(diǎn)F到平面PBC的距離FH．
在直角三角形FBH中，∠FBC=60°，F(xiàn)B=

a

2

，F(xiàn)H=FBsin∠FBC=

a

2

×sin60°=

a

2

×

3

2

=

3

4

a，
故點(diǎn)E到平面PBC的距離等于點(diǎn)F到平面PBC的距離，
等于

3

4

a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及點(diǎn)到平面的距離，同時(shí)考查了空間想象能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．