(2012•菏澤一模)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx-
π
6
)-2cos2
ω
2
+1(ω>0).直線y=
3
與函數(shù)y=f(x)圖象相鄰兩交點的距離為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,若點(
B
2
,0)
是函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心,且b=3,求△ABC外接圓的面積.
分析:(I)將函數(shù)表達式展開,再用輔助角公式合并,可得f(x)=
3
sin(ωx-
π
3
)
,結(jié)合題意知它的周期是π,利用三角函數(shù)的周期公式,可得ω=2.
(II)因為點(
B
2
,0)
是函數(shù)圖象的一個對稱中心,所以f(
B
2
)=0,結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍,可得B=
π
3
,最后用正弦定理可以算出外接圓半徑R,從而得到△ABC外接圓的面積.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
3
2
sinωx-
1
2
cosωx-cosωx
=
3
2
sinωx-
3
2
cosωx

=
3
sin(ωx-
π
3
)
…(4分)
∴函數(shù)的最大值為
3

∵直線y=
3
與函數(shù)y=f(x)圖象相鄰兩交點的距離為π
T=
ω
,得ω=2…(6分)
(Ⅱ)由(I),得f(x)=
3
sin(2x-
π
3
)

∵點(
B
2
,0)
是函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心
∴f(
B
2
)=
3
sin(B-
π
3
)
=0,可得B-
π
3
=kπ,k∈Z
,即B=
π
3
+kπ,k∈Z

因為0<B<π,所以取k=0,得B=
π
3
…(9分)
根據(jù)正弦定理,得△ABC外接圓直徑2R=
b
sinB
=
3
sin
π
3
=2
3
,所以R=
3
,
∴△ABC外接圓的面積S=πR2=3π  …(12分)
點評:本題著重考查了兩角差的正弦公式、三角函數(shù)的降次公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和正弦定理等知識,屬于中檔題,是一道不錯的綜合題.
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