Question

如圖，在五棱錐P一ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2

2

，BC=2AE=4，△PAB是等腰三角形．
（1）求證：平面PCD⊥平面PAC     
（2）求四棱錐P一ACDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證平面PCD⊥平面PAC，只需證明平面PCD內(nèi)的直線CD，垂直平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PA、AC即可；
（2）直接求出底面面積和高，再求四棱錐P-ACDE的體積．

解答： 解：（1）證明：因為∠ABC=45°，AB=2

2

，BC=4，
所以在△ABC中，由余弦定理得：AC2=（2

2

）²+4²-2×2

2

×4cos45°=8，解得AC=2

2

，
所以AB²+AC²=8+8=16=BC²，即AB⊥AC，
又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB，
又PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAC，
又因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC；
（2）由（1）知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC，又AC∥ED，所以四邊形ACDE是直角梯形，又容易求得DE=

2

，AC=2

2

，
所以四邊形ACDE的面積為

1

2

（

2

+2

2

）×

2

=3，
所以四棱錐P-ACDE的體積為

1

3

×2

2

×3=2

2

點評：本題主要考查空間中的基本關(guān)系，考查線面垂直、面面垂直的判定以及線面角和幾何體體積的計算，考查識圖能力、空間想象能力和邏輯推理能力．