Question

4．當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明${e^2}{x^2}-\frac{5}{2}x＞（x+1）lnx$．

Answer 1

分析 分析表達(dá)式，構(gòu)造兩個(gè)新函數(shù)F（x）=e²x-lnx與φ（x）=$\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}$，而后求證F（x）_min＞φ（x）_max．

解答 解：令F（x）=e²x-lnx
對(duì)F（x）求導(dǎo)：F'（x）=${e}^{2}-\frac{1}{x}$
令F'（x）=0⇒x₀=$\frac{1}{{e}^{2}}$
∴F（x）在（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）上單調(diào)遞減，（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）上單調(diào)遞增；
所以，F(xiàn)（x）_min=F（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=3．
令$ϕ（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}，x∈（0，e]$，$ϕ'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$
當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，ϕ'（x）≥0；
∴f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增；
∴$ϕ{（x）_{max}}=ϕ（e）=\frac{1}{e}+\frac{5}{2}＜\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$；
∴${e^2}x-lnx＞\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}$；
即${e^2}{x^2}-\frac{5}{2}x＞（x+1）lnx$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用構(gòu)造新函數(shù)的方式來(lái)證明不等式成立，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中等難度題．