Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2處取得極值．
（1）求f（x）的表達(dá)式和極值．
（2）若f（x）在區(qū)間[m，m+4]上是單調(diào)增函數(shù)，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)在x=-1和x=2處取得極值，得到-1和2是導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系列式求a，b的值，則函數(shù)解析式可求，然后由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求出單調(diào)區(qū)間，得到極值點(diǎn)，從而求得極值；
（2）把函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+4]上是單調(diào)增函數(shù)轉(zhuǎn)化為[m，m+4]是（-∞，-1]或[2，+∞）的子集，然后利用端點(diǎn)值的關(guān)系列不等式求解m的范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2處取得極值，
∴f′（x）=6x²+2ax+b=0的兩根為-1和2，
由根與系數(shù)關(guān)系得：

- a 3 =-1+2 a 6 =-1×2

，解得

a=-3 b=-12

．
∴f（x）=2x³-3x²-12x+3．
∴f′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2）．
令f′（x）＞0，得x＜-1或x＞2；
令f′（x）＜0，得-1＜x＜2．
∴f（x）在（-∞，-1]，[2，+∞）上為增函數(shù)，在（-1，2）上為減函數(shù)．
∴f（x）_極大值=f（-1）=10，f（x）_極小值=f（2）=-17；
（2）由（1）知，f（x）在（-∞，-1]，[2，+∞）上為增函數(shù)，
∴要使f（x）在區(qū)間[m，m+4]上是單調(diào)增函數(shù)，
則m+4≤-1或m≥2．
∴m≤-5或m≥2．
即m的取值范圍是（-∞，-5]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查了集合之間的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是對端點(diǎn)值的取舍，是中檔題．