如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,PD與平面ABCD所成的角是30°,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.
(1)當點E為BC的中點時,試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并求出EF到平面PAC的距離;
(2)命題:“不論點E在邊BC上何處,都有PE⊥AF”,是否成立,并說明理由.
分析:(1)由題設(shè)中的條件E,F(xiàn)為中點可得EF∥PC,由此可判斷出EF與平面PAC的位置關(guān)系是平行,再根據(jù)體積相等即可求出EF到平面PAC的距離;
(2)由題設(shè)條件及圖形可得出AF⊥平面PBE,由線面垂直的定義可得出無論點E在邊BC的何處兩線都垂直.
解答:解:(1)當點E為BC的中點時,EF與平面PAC平行.
∵在△PBC中,E、F分別為BC、PB的中點,∴EF∥PC又EF?平面PAC
而PC?平面PAC
∴EF∥平面PAC.
所以:點E到平面PAC的距離和EF到平面PAC的距離相等.
∵PD與平面ABCD所成的角是30°,
∴PD=
3
,AC=2.
設(shè)E到平面PAC的距離為h.
∵VE-PAC=vP-AEC
1
3
•h•S△PAC=
1
3
•PA•S△AEC⇒h=
PA•S△AEC
S△PAC
=
PA×
1
4
×SABCD
1
2
×PA•AC
=
3
8

所以:EF到平面PAC的距離為:
3
8

(2)∵PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,∴EB⊥PA.又EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP?平面PAB,∴EB⊥平面PAB,
又AF?平面PAB,∴AF⊥BE.
又PA=AB=1,點F是PB的中點,∴AF⊥PB,又∵PB∩BE=B,PB,BE?平面PBE,∴AF⊥平面PBE.
∵PE?平面PBE,∴AF⊥PE.
即不論點E在邊BC上何處,都有PE⊥AF成立.
即命題成立.
點評:本題中涉及到點、線、面間的距離計算.一般在求點到面的距離當垂線直接不好求時,常用體積相等來求.
練習冊系列答案
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如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分別是AB,PC的中點.
(1)求二面角P-CD-B的大;
(2)求證:平面MND⊥平面PCD;
(3)求點P到平面MND的距離.

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如圖,PA⊥平面AC,四邊形ABCD是矩形,E、F分別是AB、PD的中點.
(Ⅰ)求證:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)若二面角P-CD-B為45°,AD=2,CD=3,求點F到平面PCE的距離.

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如圖,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AB=2,BC=
2
,PB=
6

(1)證明:面PAC⊥平面PBC
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(3)求點A到平面PBC的距離.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•天津模擬)如圖,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,PD與平面ABCD所成的角是30°,點
F是PB的中點,點E在邊BC上移動,
(Ⅰ)當點E為BC的中點時,試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并說明理由;
(Ⅱ)證明:無論點E在邊BC的何處,都有PE⊥AF;
(Ⅲ)當BE等于何值時,二面角P-DE-A的大小為45°?

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