已知函數(shù)f(x)=
2x-12x+1
．
（1）求函數(shù)的值域；
（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性．
分析：（1）利用有界法求解，將函數(shù)看作方程，解得2x=
1+y
1-y
，再由2x＞0，解得y的范圍，即為所求．
（2）先對函數(shù)作適當(dāng)變形，再利用定義證明，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，與零比較，由定義得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵2x=
1+y
1-y
，
又2x＞0，即
1+y
1-y
＞0，
解可得-1＜y＜1
函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）
（2）函數(shù)f（x）在x∈R上為單調(diào)增函數(shù)
證明：f(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1

在定義域中任取兩個實(shí)數(shù)x1，x2，且x1＜x2
f(x1)-f(x2)=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

x1＜x2
∴2x1＜2x2
從而f（x1）-f（x2）＜0
所以函數(shù)f（x）在x∈R上為單調(diào)增函數(shù)．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)值域的求法和單調(diào)性的證明，值域常見方法有單調(diào)性法，基本函數(shù)法，有界性法，判別式法等，證明單調(diào)性一般有定義法，導(dǎo)數(shù)法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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