分析 (Ⅰ)利用線面垂直的判定定理,先證明BD⊥底面PDC,然后利用線面垂直的性質(zhì)證明:BD⊥PC;
(Ⅱ)建立空間直角坐標系,利用向量法求二面角的大�。�
解答 (Ⅰ)證明:由余弦定理得BD=√12+22−2×1×2cos60°=√3,
∴BD2+AB2=AD2,∴∠ABD=90°,BD⊥AB,
∵AB∥CD,∴BD⊥DC,
∵PD⊥底面ABCD,BD?底面ABCD,
∴BD⊥PD,
又PD∩DC=D,
∴BD⊥底面PDC,
又PC?面PDC,
∴BD⊥PC;
(Ⅱ)解:已知AB=1,AD=CD=2,PD=√2,由(Ⅰ)知BD⊥底面PDC,
以D為坐標原點,DB為x軸,建立空間直角坐標系D-xyz,如圖:
則D(0,0,0),B(√3,0,0),P(0,0,√2),M(0,1,√22),
則→DB=(√3,0,0),→DM=(0,1,√22),→CP=(0,-2,√2),→CB=(√3,-2,0),
設平面BDM的法向量為→m=(x,y,z),則{→m•→DB=0→m•→DN=0,
即{x=0y+√22z=0,令z=√2,則y=-2,可取向量→m=(0,-1,√2),
同理設平面BMP的法向量為→n=(a,b,c),則{→n•→CP=0→n•→CB=0,
可得→n=(2√33,1,√2),
∴cos<→m,→n>=→m•→n|→m|•|→n|=1√3×√133=√133,
∴二面角D-BM-P的余弦值為√133.
點評 本題主要考查線面垂直的性質(zhì),以及空間二面角的大小,利用向量法是解決空間角的基本方法,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
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