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2.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,∠DAB=60°,AB∥CD,AD=CD=2AB=2,PD⊥底面ABCD,M為PC的中點.
(Ⅰ)證明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若PD=2,求二面角D-BM-P的余弦值.

分析 (Ⅰ)利用線面垂直的判定定理,先證明BD⊥底面PDC,然后利用線面垂直的性質(zhì)證明:BD⊥PC;
(Ⅱ)建立空間直角坐標系,利用向量法求二面角的大�。�

解答 (Ⅰ)證明:由余弦定理得BD=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2cos60°}=\sqrt{3}
∴BD2+AB2=AD2,∴∠ABD=90°,BD⊥AB,
∵AB∥CD,∴BD⊥DC,
∵PD⊥底面ABCD,BD?底面ABCD,
∴BD⊥PD,
又PD∩DC=D,
∴BD⊥底面PDC,
又PC?面PDC,
∴BD⊥PC;
(Ⅱ)解:已知AB=1,AD=CD=2,PD=\sqrt{2},由(Ⅰ)知BD⊥底面PDC,
以D為坐標原點,DB為x軸,建立空間直角坐標系D-xyz,如圖:
則D(0,0,0),B(\sqrt{3},0,0),P(0,0,\sqrt{2}),M(0,1,\frac{\sqrt{2}}{2}),
\overrightarrow{DB}=(\sqrt{3},0,0),\overrightarrow{DM}=(0,1,\frac{\sqrt{2}}{2}),\overrightarrow{CP}=(0,-2,\sqrt{2}),\overrightarrow{CB}=(\sqrt{3},-2,0),
設平面BDM的法向量為\overrightarrow{m}=(x,y,z),則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DN}=0}\end{array}\right.,
\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.,令z=\sqrt{2},則y=-2,可取向量\overrightarrow{m}=(0,-1,\sqrt{2}),
同理設平面BMP的法向量為\overrightarrow{n}=(a,b,c),則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.,
可得\overrightarrow{n}=(\frac{2\sqrt{3}}{3},1,\sqrt{2}),
∴cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{\frac{13}{3}}}=\frac{\sqrt{13}}{3},
∴二面角D-BM-P的余弦值為\frac{\sqrt{13}}{3}

點評 本題主要考查線面垂直的性質(zhì),以及空間二面角的大小,利用向量法是解決空間角的基本方法,是中檔題.

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