Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，x=2是方程f（x）=0的一個實根，求證：f（1）≤-2；
（2）若f（x）的圖象上任意不同兩點的連線斜率小于1，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f'（x）=-3x²+2ax，由題可知f'（x）=-3x²+2ax≥0在[0，2]上恒成立．
由f'（x）=-3x²+2ax≥0 得，2ax≥3x²，當x=0時此式顯然成立，a∈R；
當x∈（0，2]時，有2a≥3x恒成立，易見應(yīng)當有2a≥6，∴a≥3，
可見，f'（x）=-3x²+2ax≥0在[0，2]上恒成立，須有a≥3．又f（2）=0，∴b=8-4a，
故 f（1）=a+b-1=7-3a≤-2．
（2）設(shè)P（x，f（x）），Q（y，f（y））是f（x）圖象上的兩個不同點，則 ，
∴，∴-（x²+y²+xy）+a（x+y）＜1，
∴x²+（y-a）x+（y²-ay+1）＞0 恒成立，從而△＜0，∴3y²-2ay-a²+4＞0，
從而此式的判別式△′＜0，∴a²＜3，∴．
分析：（1）由題意可知f'（x）=-3x²+2ax≥0在[0，2]上恒成立，2a≥3x恒成立，由3x的最大值等于6，可得2a≥6，由f（2）=0得b=8-4a，故f（1）=7-3a≤-2成立．
（2）設(shè)P（x，f（x）），Q（y，f（y））是f（x）圖象上的兩個不同點，則 ，即x²+（y-a）x+（y²-ay+1）＞0 恒成立．由△＜0 得到 3y²-2ay-a²+4＞0恒成立，故此式的判別式△′＜0，解不等式求得a的范圍．
點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，直線的斜率，把握好恒成立的條件是解題的關(guān)鍵和難點．