Question

已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,點A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）或

【解析】

試題分析：（1）由題意可設(shè)，所求橢圓的方程為，且其離心率可由橢圓的方程知，因此，解之得，從而可求出橢圓的方程為.

（2）由題意知，所求直線過原點，又橢圓短半軸為1，橢圓的長半軸為4，所以直線不與軸重合，即直線的斜率存在，可設(shè)直線的斜率為，直線的方程為，又設(shè)點、的坐標(biāo)分別為、，分別聯(lián)立直線與橢圓、的方程消去、可得，，又得，即，所以，解得，從而可求出直線的直線方程為或.

試題解析：(1)由已知可設(shè)橢圓的方程為 

其離心率為,故,則 

故橢圓的方程為        5分

(2)解法一  兩點的坐標(biāo)分別記為 

由及(1)知,三點共線且點,不在軸上,

因此可以設(shè)直線的方程為 

將代入中,得,所以 

將代入中,則,所以 

由,得,即 

解得,故直線的方程為或         12分

解法二  兩點的坐標(biāo)分別記為 

由及(1)知,三點共線且點,不在軸上,

因此可以設(shè)直線的方程為 

將代入中,得,所以 

由,得, 

將代入中,得,即 

解得,故直線的方程為或.

考點：1.橢圓、直線方程；2.向量運算.