Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²+ax，a∈R．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線的方程；
（2）若函數(shù)上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于不同的點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，求證：f′（px₁+qx₂）＜0（其中實(shí)數(shù)p，q滿足0＜p≤q，p+q=1）

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2lnx-x²+2x，
，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），切線的斜率k=f'（1）=2，
則切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1．（2分）
（2）方程f（x）-ax+m=0即為2lnx-x²+m=0，
令g（x）=2lnx-x²+m，則，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/62360.png' />，故g'（x）=0時(shí)，x=1．
當(dāng)時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)1＜x＜e時(shí)，g'（x）＜0．
故函數(shù)g（x）在x=1處取得極大值g（1）=m-1，（4分）
又，g（e）=m+2-e²，
，則，
故函數(shù)g（x）在上的最小值是g（e）．（6分）
方程f（x）-ax+m=0在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有
解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．（8分）
（3）∵函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），2lnx-x²+ax=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，
則兩式相減得，f（x）=2lnx-x²+ax，，
則=
=
=．（*）（10分）
∵0＜p≤q，p+q=1，則2p≤1，又0＜x₁＜x₂，∴（2p-1）（x₂-x₁）≤0，
下證，即證明．
令，∵0＜x₁＜x₂，∴0＜t＜1，
即證明在0＜t＜1上恒成立，（12分）
∵，
∵0＜p≤q，∴，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，則u（t）＜u（1）=0，從而知，
故（*）＜0，即f'（px₁+qx₂）＜0成立．（14分）
分析：（1）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出k=f'（1），最后根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程即可；
（2）方程f（x）-ax+m=0即為2lnx-x²+m=0，令g（x）=2lnx-x²+m，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在上的最小值，要使方程f（x）-ax+m=0在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有，解之即可；
（3）將a用x₁與x₂表示，然后求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），從而得到f′（px₁+qx₂），然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證明f′（px₁+qx₂）＜0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算能力，屬于難題．