Question

若θ是三角形的一個內角，且m=sinθ+cosθ，則“0＜m＜1”是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線是雙曲線”的（　�。�

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：利用m=sinθ+cosθ，兩邊平方m²=1+2sinθcosθ，結合θ是三角形的一個內角，可知充分性成立；當θ=

3π

4

時，方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線是雙曲線，但是m=sinθ+cosθ=0，故可得結論．

解答：解：∵m=sinθ+cosθ，∴m²=1+2sinθcosθ
∵0＜m＜1，∴sinθcosθ＜0
∵θ是三角形的一個內角，∴sinθ＞0，cosθ＜0
∴方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線是雙曲線
∴“0＜m＜1”是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線是雙曲線”的充分條件
當θ=

3π

4

時，方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線是雙曲線，但是m=sinθ+cosθ=0
∴“0＜m＜1”不是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線是雙曲線”的必要條件
∴“0＜m＜1”是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線是雙曲線”的充分不必要條件
故選A．

點評：本題考查四種條件的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．