Question

2．如圖，已知球的半徑為3，球內(nèi)接圓錐的高為h（h＞3），體積為V，
（1）寫出以h表示V的函數(shù)關系式V（h）；
（2）當h為何值時，V（h）有最大值，并求出該最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，設出變量O'C=r，然后得到$V（h）=\frac{1}{3}π{r^2}h=\frac{1}{3}π（6h-{h^2}）h=2π{h^2}-\frac{{π{h^3}}}{3}（3＜h＜6）$
（2）借助于函數(shù)求解導數(shù)，然后判定單調(diào)性得到最值．

解答 解：（1）連接OC，設O'C=r，有OC=3，O'O=h-3，
則有（h-3）²+r²=3²，即r²=6h-h²．…（3分）
$V（h）=\frac{1}{3}π{r^2}h=\frac{1}{3}π（6h-{h^2}）h=2π{h^2}-\frac{{π{h^3}}}{3}（3＜h＜6）$…（6分）
（2）V'（h）=πh（4-h），
當3＜h＜4，V'（h）＞0，V（h）單增；
當4＜h＜6，V'（h）＜0，V（h）單減；
V（h）_max=V（4）．…（10分）
當h=4時，$V{（h）_{max}}=\frac{32}{3}π$．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)解析式的求法，考查導數(shù)在研究最值問題中的運用，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．